平面向量知识点归纳与练习(内含答案)
平面向量是高中数学中的重要内容，它不仅涉及向量的基本概念和运算，还与几何、物理等多个领域有着紧密的联系。以下是对平面向量知识点的归纳与练习，内容丰富，包含详细的解答。
一、知识点归纳
1. 向量的基本概念
- 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，如 \(\vec{a}\)。
- 向量的表示：向量的起点和终点分别表示向量的起点和终点，向量的大小称为向量的模，用 \(|\vec{a}|\) 表示。
- 向量的方向：向量可以用角度或与坐标轴的夹角来表示。
2. 向量的运算
- 向量的加法：两个向量相加，将它们的起点放在同一点，然后按照向量方向和大小进行拼接，得到新的向量。
- 向量的减法：两个向量相减，相当于第一个向量加上第二个向量的相反向量。
- 向量的数乘：一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量，其大小是原向量的模乘以实数的绝对值，方向与原向量相同或相反。
3. 向量的数量积
- 定义：两个向量的数量积等于它们的模和它们夹角的余弦值的乘积。
- 公式：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta\)。
- 性质：数量积满足交换律、分配律和结合律。
4. 向量的向量积
- 定义：两个向量的向量积是一个新的向量，其模等于原向量的模的乘积和它们夹角的正弦值的乘积，方向垂直于原向量的平面。
- 公式：\(\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \vec{n}\)，其中 \(\vec{n}\) 是垂直于 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的单位向量。
- 性质：向量积不满足交换律，满足分配律和结合律。
5. 向量的应用
- 向量在几何中的应用：向量可以表示线段、射线、角度等，还可以用于求解几何问题。
- 向量在物理中的应用：向量可以表示力、速度、加速度等，用于描述物体的运动状态。
二、练习与答案
1. 练习1：已知向量 \(\vec{a} = (2, 3)\)，求向量 \(\vec{a}\) 的模。
解答：向量 \(\vec{a}\) 的模为 \(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\)。
2. 练习2：已知向量 \(\vec{a} = (1, 2)\)，向量 \(\vec{b} = (3, 4)\)，求向量 \(\vec{a} + \vec{b}\) 和 \(\vec{a} - \vec{b}\)。
解答：\(\vec{a} + \vec{b} = (1+3, 2+4) = (4, 6)\)，\(\vec{a} - \vec{b} = (1-3, 2-4) = (-2, -2)\)。
3. 练习3：已知向量 \(\vec{a} = (3, 4)\)，向量 \(\vec{b} = (2, -1)\)，求 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)。
解答：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 2 + 4 \times (-1) = 6 - 4 = 2\)。
4. 练习4：已知向量 \(\vec{a} = (2, 3)\)，向量 \(\vec{b} = (4, -5)\)，求 \(\vec{a} \times \vec{b}\)。
解答：\(\vec{a} \times \vec{b} = 2 \times (-5) - 3 \times 4 = -10 - 12 = -22\)。
5. 练习5：在平面直角坐标系中，已知点 \(A(1, 2)\)，点 \(B(3, 4)\)，求向量 \(\vec{AB}\) 的坐标表示。
解答：向量 \(\vec{AB} = (3-1, 4-2) = (2, 2)\)。
6. 练习6：在平面直角坐标系中，已知点 \(A(2, 3)\)，点 \(B(4, 5)\)，向量 \(\vec{AB}\) 与向量 \(\vec{AC}\) 的数量积为12，求点 \(C\) 的坐标。
解答：设点 \(C\) 的坐标为 \((x, y)\)，则向量 \(\vec{AC} = (x-2, y-3)\)。根据题意，\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 12\)，即 \((4-2, 5-3) \cdot (x-2, y-3) = 12\)。解得 \(x=6, y=7\)，所以点 \(C\) 的坐标为 \((6, 7)\)。
7. 练习7：已知向量 \(\vec{a} = (3, 4)\)，向量 \(\vec{b} = (2, -1)\)，求 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的夹角。
解答：根据数量积的定义，\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta\)。代入已知数据，得 \(2 \times 3 + (-1) \times 4 = 3 \sqrt{3^2 + 4^2} \times \sqrt{2^2 + (-1)^2} \times \cos \theta\)。解得 \(\cos \theta = \frac{2}{5}\)，所以 \(\theta = \cos^{-1} \left(\frac{2}{5}\right)\)。
8. 练习8：在平面直角坐标系中，已知点 \(A(1, 2)\)，点 \(B(3, 4)\)，点 \(C(5, 6)\)，求 \(\triangle ABC\) 的面积。
解答：向量 \(\vec{AB} = (3-1, 4-2) = (2, 2)\)，向量 \(\vec{AC} = (5-1, 6-2) = (4, 4)\)。根据向量积的定义，\(\vec{AB} \times \vec{AC} = 2 \times 4 - 2 \times 4 = 0\)。因为向量积为0，所以 \(\triangle ABC\) 是一条直线，面积为0。
9. 练习9：已知向量 \(\vec{a} = (2, 3)\)，向量 \(\vec{b} = (4, 5)\)，求 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的夹角余弦值。
解答：根据数量积的定义，\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta\)。代入已知数据，得 \(2 \times 4 + 3 \times 5 = 2 \sqrt{2^2 + 3^2} \times 4 \sqrt{4^2 + 5^2} \times \cos \theta\)。解得 \(\cos \theta = \frac{1}{2}\)，所以 \(\theta = \cos^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)\)。
10. 练习10：在平面直角坐标系中，已知点 \(A(0, 0)\)，点 \(B(2, 2)\)，点 \(C(4, 6)\)，求 \(\triangle ABC\) 的面积。
解答：向量 \(\vec{AB} = (2-0, 2-0) = (2, 2)\)，向量 \(\vec{AC} = (4-0, 6-0) = (4, 6)\)。根据向量积的定义，\(\vec{AB} \times \vec{AC} = 2 \times 6 - 2 \times 4 = 8\)。所以 \(\triangle ABC\) 的面积为 \(|\vec{AB} \times \vec{AC}| / 2 = 8 / 2 = 4\)。
以上是对平面向量知识点的归纳与练习，包含了丰富的内容和详细的解答。通过这些练习，学生可以更好地掌握平面向量的基本概念、运算和应用。
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