统计分析大赛试题答案及解析
统计分析大赛试题答案及解析
试题一：描述性统计分析
【题目】
某高校对学生进行了一次数学成绩的调查，以下是随机抽取的100名学生的数学成绩（单位：分）：
（1）计算这组数据的平均数、中位数、众数。
（2）计算这组数据的方差和标准差。
（3）绘制这组数据的直方图和箱线图。
【答案及解析】
（1）平均数、中位数、众数的计算：
首先，将100个数据按照从小到大的顺序排列，计算平均数：
平均数 = (所有数据之和) / 数据个数
= (90+91+92+...+100) / 100
= 95
中位数是指将数据从小到大排序后，位于中间位置的数值。由于共有100个数据，中位数是第50个和第51个数据的平均值：
中位数 = (第50个数据 + 第51个数据) / 2
= (95+96) / 2
= 95.5
众数是指一组数据中出现次数最多的数值。观察数据发现，95分出现的次数最多，因此众数是95。
（2）方差和标准差的计算：
方差是各个数据与平均数差值的平方的平均数，计算公式为：
方差 = (Σ(每个数据 - 平均数)²) / 数据个数
= (Σ(90-95)² + Σ(91-95)² + ... + Σ(100-95)²) / 100
= 25
标准差是方差的平方根，计算公式为：
标准差 = √方差
= √25
= 5
（3）直方图和箱线图的绘制：
直方图是将数据分组，以组距为宽度，组中值为高度的长方形图形。箱线图是展示数据分布的一种图形，包括最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值。
试题二：回归分析
【题目】
以下是某地区近10年的居民收入和消费支出数据（单位：亿元）：
年份 居民收入 消费支出
1 100 80
2 120 90
3 130 100
4 140 110
5 150 120
6 160 130
7 170 140
8 180 150
9 190 160
10 200 170
（1）建立居民收入与消费支出的线性回归模型。
（2）计算模型的判定系数R²。
（3）预测第11年的消费支出。
【答案及解析】
（1）线性回归模型的建立：
首先，计算居民收入和消费支出的平均值：
居民收入平均值 = (100+120+...+200) / 10 = 150
消费支出平均值 = (80+90+...+170) / 10 = 120
然后，计算居民收入和消费支出的协方差：
协方差 = Σ((每个居民收入 - 居民收入平均值) * (每个消费支出 - 消费支出平均值)) / 数据个数
= (Σ((100-150) * (80-120)) + Σ((120-150) * (90-120)) + ... + Σ((200-150) * (170-120))) / 10
= 400
接着，计算居民收入和消费支出的方差：
居民收入方差 = Σ((每个居民收入 - 居民收入平均值)²) / 数据个数
= (Σ((100-150)²) + Σ((120-150)²) + ... + Σ((200-150)²)) / 10
= 2500
最后，根据线性回归模型的公式，计算回归系数：
回归系数 = 协方差 / 居民收入方差
= 400 / 2500
= 0.16
因此，线性回归模型为：Y = 0.16X + 88，其中Y为消费支出，X为居民收入。
（2）判定系数R²的计算：
判定系数R²是衡量回归模型拟合优度的指标，计算公式为：
R² = 1 - (Σ(每个实际消费支出 - 预测消费支出)²) / (Σ(每个实际消费支出 - 消费支出平均值)²)
根据模型，计算每个预测消费支出，然后计算R²：
R² = 1 - (Σ((80-0.16*100-88)² + (90-0.16*120-88)² + ... + (170-0.16*200-88)²)) / (Σ((80-120)² + (90-120)² + ... + (170-120)²))
= 0.95
（3）预测第11年的消费支出：
将第11年的居民收入200代入线性回归模型，计算预测消费支出：
预测消费支出 = 0.16 * 200 + 88 = 152
综上所述，本题的答案及解析如上所述。在实际统计分析过程中，还需要对数据进行进一步的检验和分析，以验证模型的稳定性和可靠性。同时，本题仅为一个简单的例子，实际应用中可能涉及到更复杂的统计方法和模型。
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