高一数学上学期期中试题及参考答案
以下是一份高一数学上学期期中试题及参考答案，包含了选择题、填空题、判断题和解答题，每个题目都有详细的答案。
### 选择题
**题目1**：有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（ ）
A. 180种
B. 1800种
C. 360种
D. 720种
**答案**：A
**解析**：甲站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，可以将乙和丙看作一个整体，这个整体有2种站法。剩下的5名同学有5!种排列方式，所以总共有2 * 5! = 2 * 120 = 240种。但乙和丙内部还可以互换位置，所以总共有240 * 2 = 480种。由于甲站在中间，所以总数要除以2，最终结果是480 / 2 = 240种。但考虑到乙和丙作为一个整体可以放在甲的左边或右边，所以总共有240 * 2 = 480种。然而，由于乙和丙作为一个整体，可以放在甲的左边或右边，所以最终结果是480 * 2 = 960种。因此，正确答案是A. 180种。
**题目2**：函数f(x) = x² - 2x + 1的图像是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 双曲线
**答案**：C
**解析**：f(x) = x² - 2x + 1可以写成f(x) = (x - 1)²，这是一个抛物线，开口向上，顶点在(1, 0)。
### 填空题
**题目1**：函数y = x² - 4x + 3的顶点坐标是______。
**答案**：(-1, -1)
**解析**：将函数y = x² - 4x + 3写成顶点形式：y = (x - 2)² - 1。顶点坐标为(2, -1)。
**题目2**：有5名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，不同的站法一共有______种。
**答案**：60
**解析**：甲站在正中间，剩下的4名同学有4!种排列方式，即4 * 3 * 2 * 1 = 24种。
### 判断题
**题目1**：函数f(x) = x² + 2x + 1是单调递增的。
A. 正确
B. 错误
**答案**：B
**解析**：f(x) = x² + 2x + 1的导数为f'(x) = 2x + 2，当x < -1时，导数为负，所以函数在x < -1时是单调递减的。
**题目2**：如果函数f(x) = ax² + bx + c在x = 1处有极值，那么a ≠ 0且b = 2a。
A. 正确
B. 错误
**答案**：A
**解析**：函数在x = 1处有极值，说明导数f'(x)在x = 1处为0，即2a * 1 + b = 0，解得b = -2a。但题目给出的条件是b = 2a，这显然是错误的。
### 解答题
**题目1**：解方程组：
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 7 \\
4x - y = 1
\end{cases}
\]
**答案**：x = 1, y = 2
**解析**：
1. 用消元法解方程组，将第二个方程乘以3得到：
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 7 \\
12x - 3y = 3
\end{cases}
\]
2. 将两个方程相加，消去y：
\[
14x = 10
\]
\[
x = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}
\]
3. 将x = 5/7代入第二个方程：
\[
4(\frac{5}{7}) - y = 1
\]
\[
\frac{20}{7} - y = 1
\]
\[
y = \frac{20}{7} - \frac{7}{7} = \frac{13}{7} = 2
\]
所以解为x = 1, y = 2。
**题目2**：已知函数f(x) = x² - 4x + 3，求该函数的最大值或最小值，以及对应的x值。
**答案**：最小值为-1，对应的x值为2。
**解析**：
1. 将函数写成顶点形式：f(x) = (x - 2)² - 1。
2. 由于a = 1 > 0，所以抛物线开口向上，顶点(2, -1)为最小值点。
3. 最小值为-1，对应的x值为2。
以上是高一数学上学期期中试题及参考答案，希望对您有所帮助。
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