高三数学(理科)一轮复习检测试题及答案解析
以下是一套高三数学（理科）一轮复习检测试题及答案解析，包括选择题、填空题、判断题和解答题。
### 选择题
**1. 已知函数 $f(x) = x^3 - 3x$，则下列结论正确的是（ ）**
A. 函数在区间（-∞，0）上单调递增
B. 函数在区间（0，+∞）上单调递增
C. 函数的极大值为0
D. 函数的极小值为0
**答案：D**
**解析：**
求导得到 $f'(x) = 3x^2 - 3$。令 $f'(x) = 0$，解得 $x = -1$ 或 $x = 1$。当 $x < -1$ 或 $x > 1$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增；当 $-1 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。因此，$x = -1$ 是极大值点，$x = 1$ 是极小值点。将 $x = 1$ 代入原函数得 $f(1) = 1^3 - 3 \times 1 = -2$，故选项D正确。
**2. 若直线 $l$ 过点 $(2, 3)$，且垂直于直线 $2x - 3y + 1 = 0$，则直线 $l$ 的方程为（ ）**
A. $2x + 3y - 13 = 0$
B. $3x + 2y - 13 = 0$
C. $2x - 3y - 1 = 0$
D. $3x - 2y + 1 = 0$
**答案：A**
**解析：**
已知直线 $2x - 3y + 1 = 0$ 的斜率为 $2/3$，则垂直于它的直线斜率为 $-3/2$。直线过点 $(2, 3)$，利用点斜式方程 $y - y_1 = m(x - x_1)$，得 $y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 2)$。整理得 $2x + 3y - 13 = 0$。
### 填空题
**3. 若函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图像关于点 $M(a, b)$ 对称，则 $a + b$ 的值为________。**
**答案：1**
**解析：**
函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图像关于点 $M(a, b)$ 对称，则 $M$ 是对称中心。任取函数上一点 $(x_1, y_1)$，其关于点 $M$ 对称的点为 $(2a - x_1, 2b - y_1)$，该点也在函数上，因此 $\frac{1}{2a - x_1} = \frac{1}{x_1}$。解得 $x_1 = a$，即任意点 $(x_1, y_1)$ 关于 $M$ 对称的点为其本身，故 $a = 0$。由于 $y = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 时未定义，因此考虑函数的渐近线 $x = 0$ 和 $y = 0$，对称中心必然在这两条渐近线的交点 $(0, 0)$，所以 $a = 0$，$b = 1$。故 $a + b = 1$。
**4. 若等差数列 ${a_n}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = n^2 + n$，则该数列的通项公式为________。**
**答案：$a_n = 2n - 1$**
**解析：**
等差数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，而 $S_n = n^2 + n$。当 $n = 1$ 时，$a_1 = S_1 = 1 + 1 = 2$。当 $n = 2$ 时，$a_1 + a_2 = S_2 = 4 + 2 = 6$，解得 $a_2 = 4$。由此可得公差 $d = a_2 - a_1 = 2$。因此，通项公式为 $a_n = a_1 + (n - 1)d = 2 + (n - 1) \times 2 = 2n - 1$。
### 判断题
**5. 若 $a > b$，则 $a^2 > b^2$。（ ）**
**答案：×**
**解析：**
这个命题是错误的。例如，当 $a = -1$，$b = -2$ 时，虽然 $a > b$，但是 $a^2 = 1$ 而 $b^2 = 4$，所以 $a^2 < b^2$。
**6. 若直线 $l_1$ 与直线 $l_2$ 平行，则它们的斜率相等。（ ）**
**答案：×**
**解析：**
这个命题也是错误的。当直线垂直于 $x$ 轴时，它们没有斜率，但仍然是平行的。
### 解答题
**7. 解不等式 $2x - 3 < x + 1$ 并表示解集。**
**答案：**
解不等式得 $x < 4$。解集表示为 $\{x | x < 4\}$。
**解析：**
移项得 $2x - x < 1 + 3$，即 $x < 4$。解集为所有小于4的实数，用集合表示为 $\{x | x < 4\}$。
**8. 已知函数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$，求函数的最小值。**
**答案：**
函数的最小值为0。
**解析：**
函数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ 可以写成 $(x - 1)^2$，这是一个完全平方公式。由于平方项总是非负的，所以 $(x - 1)^2 \geq 0$。当 $x = 1$ 时，$(x - 1)^2 = 0$，故函数的最小值为0。
