高考总复习数学(理)高考模拟试题及答案解析十三
当然可以，以下是一份高考总复习数学(理)的高考模拟试题及答案解析（十三），包含了选择题、填空题、判断题和解答题。
### 选择题
**1.** 若函数$f(x) = (x-1)^2 + 2$在区间$(-\infty, a]$上的最大值为9，则$a$的取值范围是（ ）
A. $a \geq 4$
B. $a \geq 3$
C. $a \leq 4$
D. $a \leq 3$
**答案：** A
**解析：** 函数$f(x) = (x-1)^2 + 2$是一个开口向上的抛物线，顶点为$(1, 2)$。在区间$(-\infty, a]$上，最大值出现在端点$a$处。由于最大值为9，所以$(a-1)^2 + 2 = 9$，解得$a = 4$或$a = -2$。因为要使区间为$(-\infty, a]$，所以$a \geq 4$。
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**2.** 设函数$g(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$，则$g(x)$的单调递增区间是（ ）
A. $(-\infty, 1)$
B. $(1, +\infty)$
C. $(0, +\infty)$
D. 整个实数集
**答案：** B
**解析：** 函数$g(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$可以改写为$g(x) = \ln((x-1)^2 + 1)$。由于$(x-1)^2 + 1$是关于$x$的增函数，因此$g(x)$在$(1, +\infty)$上单调递增。
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### 填空题
**1.** 若等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为$a_1 = 2$，$a_2 = 5$，$a_3 = 8$，则该数列的通项公式为$a_n = \_\_\_\_\_\_$。
**答案：** $a_n = 3n - 1$
**解析：** 等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$d$是公差。由题意知$d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$，所以$a_n = 2 + (n-1) \times 3 = 3n - 1$。
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**2.** 若函数$h(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$的极值点为$x_1$和$x_2$，则$x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_$。
**答案：** 6
**解析：** 函数$h(x)$的导数为$h'(x) = 3x^2 - 12x + 9$。令$h'(x) = 0$，解得$x = 1$和$x = 3$。因此，极值点$x_1 = 1$，$x_2 = 3$，所以$x_1 + x_2 = 4$。
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### 判断题
**1.** 若函数$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$的定义域是$[-1, 1]$，则其值域是$[0, 1]$。（ 错误 ）
**解析：** 函数$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$的定义域是$[-1, 1]$，但其值域是$[0, 1]$，因为当$x$取-1或1时，$f(x)$取0，当$x$取0时，$f(x)$取1。
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**2.** 两个等差数列的通项公式分别为$a_n = 2n - 1$和$b_n = 3n + 1$，则这两个数列的交点个数为0个。（ 正确 ）
**解析：** 两个等差数列的通项公式分别为$a_n = 2n - 1$和$b_n = 3n + 1$，将它们相等得到$2n - 1 = 3n + 1$，解得$n = -2$。因为$n$必须是正整数，所以这两个数列没有交点。
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### 解答题
**1.** 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，求证：$f(x)$在实数范围内有两个零点。
**答案：**
**证明：** 首先求导得到$f'(x) = 3x^2 - 3$。令$f'(x) = 0$，解得$x = -1$和$x = 1$。
当$x < -1$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增；当$-1 < x < 1$时，$f'(x) < 0$，函数$f(x)$单调递减；当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增。
又因为$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = 3 > 0$，$f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1 < 0$，$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -3 < 0$，$f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 3 > 0$。
由零点存在性定理可知，在区间$(-2, -1)$和$(1, 2)$内各存在一个零点，因此$f(x)$在实数范围内有两个零点。
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**2.** 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}$，求$\{a_n\}$的通项公式。
**答案：**
**解：** 由递推公式$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}$，两边同时平方得到$a_{n+1}^2 = a_n^2 + 2 + \frac{1}{a_n^2}$。
又因为$a_n^2 = a_{n-1}^2 + 2 + \frac{1}{a_{n-1}^2}$，所以$a_{n+1}^2 - a_n^2 = a_n^2 - a_{n-1}^2$。
即数列$\{a_n^2\}$是一个等差数列，首项为$a_1^2 = 1$，公差为2，所以$a_n^2 = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$。
因此，$a_n = \sqrt{2n - 1}$（由于$a_n > 0$，所以只取正根）。
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