数学与经济管理-计算题_mba关于数据、模型与决策的题目及答案
题目：某家电制造公司计划对其生产线进行优化，以提高生产效率并降低成本。以下是关于数据、模型与决策的计算题。 一、题目描述 该公司生产两种家电产品A和B，生产线上共有两种设备：设备1和设备2。设备1用于生产产品A，设备2用于生产产品B。根据生产数据，生产1台产品A需要设备1工作2小时，设备2工作1小时；生产1台产品B需要设备1工作1小时，设备2工作2小时。设备1和设备2每天的最大工作时间为12小时。产品A和产品B的售价分别为1000元和1500元。 请根据以上信息，建立数学模型，求解该公司每天生产产品A和产品B的最大利润。 二、解题步骤 1. 定义变量 设x为每天生产产品A的数量，y为每天生产产品B的数量。 2. 建立目标函数 目标函数为利润最大化，即： Z = 1000x + 1500y 3. 约束条件 设备1的工作时间约束：2x + y ≤ 12 设备2的工作时间约束：x + 2y ≤ 12 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0 4. 求解线性规划问题 利用单纯形法或图形法求解以下线性规划问题： max Z = 1000x + 1500y s.t. 2x + y ≤ 12 x + 2y ≤ 12 x ≥ 0，y ≥ 0 三、答案解析 1. 解法一：图形法 将约束条件绘制在坐标轴上，得到以下图形： ``` y | | * | * | * | * |* |----------------- x 0 2 4 6 8 10 12 ``` 图形中的阴影部分为可行域，目标函数Z = 1000x + 1500y表示直线。通过观察图形，可以发现当直线经过点B(4, 4)时，目标函数取得最大值。 因此，最优解为x = 4，y = 4，最大利润为Z = 1000 * 4 + 1500 * 4 = 10000元。 2. 解法二：单纯形法 将线性规划问题转化为标准形式，得： max Z = 1000x + 1500y + 0s1 + 0s2 s.t. 2x + y + s1 = 12 x + 2y + s2 = 12 x ≥ 0，y ≥ 0，s1 ≥ 0，s2 ≥ 0 利用单纯形法求解，迭代过程如下： ``` 迭代1： | x | y | s1 | s2 | Z | |-------|-------|------|------|-----| | 1000 | 1500 | 0 | 0 | 0 | | 2 | 1 | 1 | 0 | 12 | | 1 | 2 | 0 | 1 | 12 | 迭代2： | x | y | s1 | s2 | Z | |-------|-------|------|------|-----| | 500 | 750 | -2 | 0 | 24 | | 1 | 1 | 1/2 | 0 | 6 | | 0 | 1 | -1/2| 1 | 6 | 迭代3： | x | y | s1 | s2 | Z | |-------|-------|------|------|-----| | 500 | 250 | 0 | -2 | 20 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 4 | | 0 | 1 | -1 | 2 | 4 | 最优解为x = 4，y = 4，最大利润为Z = 1000 * 4 + 1500 * 4 = 10000元。 四、总结 通过以上计算，我们可以得出以下结论： 1. 该公司每天生产4台产品A和4台产品B时，可以获得最大利润10000元。 2. 在实际生产过程中，该公司可以根据市场需求调整产品A和产品B的生产数量，但要注意保持设备1和设备2的工作时间不超过12小时。 3. 该问题属于线性规划问题，可以通过图形法或单纯形法求解。在实际应用中，线性规划方法在数据、模型与决策领域具有广泛的应用，可以帮助企业提高生产效率、降低成本，实现利润最大化。
